普物公式整理#

前面没空做了

定理#

Chapter28 电势能、电势#

定义#

1. $\Delta U_{a\rightarrow b}=-\int_{a}^b \vec{F}\cdot d\vec{l}$，若定义 $U_{\infin} = 0$ 则 $U_p = \int_p^{\infin} \vec{F}\cdot d\vec{l}$
   • 单位 : J
2. 力矩 $\vec{\tau} = \vec{p}\times\vec{E}$
   • 由此定义的 $U = -\vec{p}\cdot \vec{E}$
3. $V=\frac{U}{q_0}$ 若定义 $V_{\infin} = 0$ 则 $V_p = \int_p^{\infin} \vec{E}\cdot d\vec{l}$
   • 单位 : V = J/C

从 $E$ 到 $V$ : $V_p = \int_p^{\infin} \vec{E}\cdot d\vec{l}$

从 $V$ 到 $E$ : $E=-\nabla V$

定理#

1. 静电场环路定理 $$\oint \vec{E}\cdot\vec{dl} = 0\\ \nabla \times \vec{E} = 0$$

​ 注：对于变化的电场，有（参见Chapter34)

$$\oint \vec{E}\cdot\vec{dl} = -\frac{d\Phi_B}{dt}\\ \nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}$$

模型#

1. 点电荷

   • $U(r) = \frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0r}$
   • $V(r) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0r}$

2. 电偶极矩

   

$$V(r) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0}(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}) \approx \frac{p\cdot \hat{r}}{4\pi\epsilon_0r^2}$$

如果使用 $r-\theta$ 的坐标系

$$V(r,\theta) = \frac{2aq\cos{\theta}}{4\pi\epsilon_0r^2} \Rightarrow \vec{E} = \frac{p}{4\pi\epsilon_0r^3}((2\cos{\theta})\hat{r}+(\sin{\theta})\hat{\theta})$$

3. 电四偶极矩

$$ \begin{aligned} V(r) &= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r^3(1-d^2/r^2)}\\ Q &= 2qd^2(Electric\ quadrupole\ moment) \end{aligned} $$

4. 带电球壳

$$(Gauss'\ Law\Rightarrow)E=\begin{cases} \frac{q}{4\pi\epsilon_0r^2},r>R\\ 0,r\le R \end{cases} \Rightarrow V(r)= \begin{cases} \frac{q}{4\pi\epsilon_0r},r>R\\ \frac{q}{4\pi\epsilon_0R},r\le R \end{cases}$$

​ 电势能：微元

U&=\sum_{1\le i<j\le n} \frac{q_iq_j}{4\pi\epsilon_0r_{ij}} =\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{q_iq_j}{4\pi\epsilon_0r_{ij}}\\ &=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n q_iV_i =\frac{1}{2}\int Vdq =\frac{1}{2}\frac{q}{4\pi\epsilon_0R}q\\ &= \frac{q^2}{8\pi\epsilon_0R}

5. 带电圆环

$$ V=\int dV = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\oint \frac{\lambda ds}{r} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{\sqrt{z^2+R^2}} $$

6. 带电圆盘

$$ \begin{aligned} V&=\int_0^R \frac{dq}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{\sqrt{z^2+w^2}} \\ &=\int_0^R \frac{2\pi wdw\sigma}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{\sqrt{z^2+w^2}}\\ &=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}(\sqrt{z^2+R^2}-z)\\ \\ &if(z>>R)\ V = \frac{q}{4\pi\epsilon_0z}\\ \\ \\ E &= -\nabla V = -\frac{\partial V}{\partial z} = - \frac{\sigma}{2\epsilon_0}(1-\frac{1}{\sqrt{1+R^2/z^2}}) \end{aligned} $$

其他#

1. 尖端放电

   在电势相同的情况下，尖端附近电场更强，容易放电

2. 镜像法处理感应电荷分布

   感应电荷可以等效成一个导体内的镜像电荷，从而达到在导体表面产生电场与源电荷电场相抵消的效果

Chapter29(30) 电容(capacitance)和电介质(dielectrics)#

定义#

1. 电容 $C=\frac{q}{\Delta V}$

2. 电容的串并联

   • 串联： $C=C_1+C_2$
   • 并联： $\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}$

3. 电场能量密度（单位体积电场中的能量） $u_E = \frac{1}{2}\epsilon_0E^2$

   推导（以平行板为例）：

   • 给电容器充电 $U=\frac{1}{C}\int_0^Q qdq = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}$ 同时也 $U = \frac{1}{2}CV^2$

   • $U = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{A\epsilon_0/d}$ 且 $E=\frac{\sigma}{\epsilon_0} = \frac{Q}{\epsilon_0A}$ $\Rightarrow U = \frac{1}{2}E^2\epsilon_0Ad$

   • $u_E=\frac{W}{volume} = \frac{U}{Ad} = \frac{1}{2}\epsilon_0E^2$

   • 例题：验证该 $u_E$ 适用于圆筒形电容器（tip: 即将用 $U=\int u_E dv$ 得到的结果与预期进行比较）

4. 介电常数 $\kappa_e$ ： $C=\kappa_eC_0$ 介电常数表现了电容器中使用该种介质与真空相比的电容差距（总是大于1）

   微观理解

   • 对于无极分子电介质，初始 $p=qd=0$ ，在 $\vec{E_0}$ 作用下 $p\neq 0$ 从而在两端产生正负电荷。产生束缚电荷，反向的电场。“电子位移极化”
   • 对于有极分子电介质，初始 $p$ 方向混乱，求和为 0，在 $\vec{E_0}$ 作用下方向统一从而在两端产生正负电荷。“取向极化”（当然也存在电子位移极化，然而相比之下效应太小，仅在电场高频变化的时候比较明显）

5. 极化强度矢量 $\vec{P}=\frac{\sum \vec{p_i}}{\Delta V}$

   • 介质表面的$\sigma$ : $\sigma = \vec{P}\cdot\vec{n}$（$\vec{n}$是法向量）
   • 计算思路 $P\Rightarrow \sigma_e' \Rightarrow E' \Rightarrow E$ （$E'$是在理解过程中认定介质产生的束缚电荷的电场，名为退极化场depolarization field，$E$ 是最后表现出来的电场）
   • 可用的一个式子 $\oiint \vec{P}\cdot\vec{dA} = -\sum q_{in}$

6. 极化率 $\chi_e$ : 对于一般的具有各向同性的材料，有 $P=\chi_e\epsilon_0E$

   • $\kappa_e= 1+\chi_e$

7. 电位移矢量（电感应强度）$\vec{D} = \epsilon_0E+P$

定理#

1. 介质中的高斯定律

$$\oiint D\cdot dA = \sum q_{in}$$

​ note:此处的 $q_{in}$ 指的是内部的自由电荷（也即束缚电荷不算在内）

2. 环路定律不成立 $$\oint \vec{D}\cdot\vec{dl} \neq 0$$ 因为 $\kappa_e$ 在不同路径不一样

模型#

1. 平行板电容器

   $$C=\frac{q}{\Delta V} = \frac{\sigma A}{\frac{\sigma d}{\kappa_e\epsilon_0}}=\kappa_e\dfrac{\epsilon_0A}{d}$$

2. 圆筒形电容器

$$ C=\frac{q}{\Delta V} = \frac{\kappa_eQ}{\int_a^b \frac{Q}{2\pi\epsilon_0rL}dr}=\kappa_e\dfrac{2\pi\epsilon_0L}{\ln{\frac{b}{a}}} $$

3. 球形电容器

$$ C=\frac{q}{\Delta V} = \kappa_e\frac{q}{\int_a^b \frac{q}{4\pi\epsilon_0r^2}dr}=\kappa_e\dfrac{4\pi\epsilon_0ab}{b-a} $$ ​ 令 $b\rightarrow \infin$ ，单独一个球也是电容器， $C=4\kappa_e\pi\epsilon_0a$

4. 球体介质在电场中的退极化场

取表面的微元（蓝色部分）

$$\begin{aligned} \sigma_e'&=P\cos{\theta}\\ dE'&=\frac{dq'}{4\pi\epsilon_0R^2}=\frac{\sigma_e'dA}{4\pi\epsilon_0R^2}=\frac{P\cos{\theta}dA}{4\pi\epsilon_0R^2}\\ dA&=Rd\theta R\sin{\theta}d\varphi\\ dE'_z &= -dE'\cos{\theta} = \frac{P\cos{\theta}\sin{\theta}d\theta d\varphi}{4\pi\epsilon_0}\\ E'_z&=\oiint dE'_z = -\frac{P}{3\epsilon_0} \end{aligned}$$

Chapter31 恒定电流#

定义#

1. 电流强度 $i =\frac{dq}{dt}$
2. 电流密度矢量 $j$ $di = \vec{j}\cdot\vec{dA}$
   • $\oiint_A \vec{j}\cdot\vec{dA} =-\frac{dq}{dt}$
3. 恒定电流的电流场有 $\oiint_A \vec{j}\cdot\vec{dA} =0$
4. 电阻率和电导率
   • $R=\rho \frac{L}{A}$
   • $\rho$ 电阻率， $\sigma=\frac{1}{\rho}$ 电导率
   • 对于金属在一定范围内有 $\rho(T) = \rho_0+\alpha T$
5. 电功率 $P = \frac{W}{\Delta t}$
6. 电动势 $\epsilon = \int_{-}^{+} \vec{K}\cdot\vec{dl}$
   • 把单位正电荷从负极由电源内部移到正极的非静电力做功

定理#

1. 欧姆定律 $R=\frac{dV}{dI}$

   • 微分形式： $\vec{j} = \sigma\vec{E}$
   $$\begin{aligned} \Delta i &=\frac{\Delta V}{R}\Rightarrow j\Delta A =\frac{E\Delta l}{\rho \frac{\Delta l}{\Delta A}}\\ j &= \frac{E}{\rho} = \sigma E \end{aligned}$$
   • 微观解释

2. 焦耳定律 $P = i^2R = \frac{V^2}{R}$

模型#

1. 电极的接地电阻

​ 视为多层球壳作电阻

$$R=\int\rho\frac{dl}{A} =\int_a^\infin \rho \frac{dr}{2\pi r^2} = \frac{\rho}{2\pi a}$$

Chapter 32(33) 稳恒磁场#

定义#

1. 磁感应强度 $\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\oint\frac{i_1\vec{ds_1}\times \hat{r_{12}}}{r_{12}^2}$
   • 单位 $1T =1N/(m\cdot A)$
2. 磁力 $\vec{dF} = i_2\vec{ds_2}\times \vec{B}$
3. 磁偶极矩 $\vec{\mu_m} = iA\vec{n}$
   • 如果多匝线圈要乘以相应的线圈匝数
   • 方向为 $A$ 的法向方向（$\vec{n}$）
4. 力矩 $\vec{\tau} = iA(\vec{n}\times\vec{B}) = \vec{\mu_m}\times\vec{B}$
   • 由此定义的 $U = - \vec{\mu_m}\cdot\vec{B}$（貌似都是 - X偶极矩 点乘 X场）
5. 洛伦兹力 $\vec{f} = q\vec{v}\times\vec{B}$
   • $\vec{F} = i\vec{ds}\times\vec{B}$对应的微观描述

定理#

1. Biot-Savart Law

   其实就是 $\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\oint\frac{i_1\vec{ds_1}\times \hat{r_{12}}}{r_{12}^2}$

2. 高斯定律

   $$\oiint \vec{B}\cdot\vec{dA} = 0\\ \nabla\cdot \vec{B} = 0$$

3. 磁场安培环路定律

$$\oint \vec{B}\cdot\vec{dl} = \mu_0\sum_{in\ loop} i$$

notes

• i 的符号： 符合右手定则为正，反之为负
• 如果多次穿入穿出则要多次计算

模型#

1. 长直导线

   $$ B=\frac{\mu_0 i}{4\pi r_0}(\cos{\theta_1} -\cos{\theta_2}) $$ 无穷长导线则有（可用安培环路） $$ B=\frac{\mu_0 i}{2\pi r_0} $$

​ 补充：导线内部：

$$B=\frac{\mu_0 ir}{2\pi R^2}$$

1. 环形导线

$$ B =\frac{\mu_0}{2}\frac{iR^2}{(R^2+r_0^2)^{3/2}} = \frac{\mu_0}{2\pi}\frac{\mu}{(R^2+r_0^2)^{3/2}} $$ ​ 若在导线正中则有 $$ B=\frac{\mu_0 i}{2R} $$ ​ 若距离很远则有 $$ B=\frac{\mu_0 iR^2}{2r_0^3} $$

3. 大平板

$$ B_x=\frac{\mu_0 i}{\pi a} \arctan{\frac{a}{2R}} $$ ​ 若离平板很近则有 $$ B=\frac{\mu_0 i}{2\pi R} $$ ​ 若离平板很远则有 $$ B=\frac{\mu_0 i}{2a} $$

4. 螺旋管

$$ B=\frac{1}{2}\mu_0ni(\cos{\beta_1}-\cos{\beta_2}) $$ ​ 如果螺线管无限长 $$ B=\mu_0ni $$ ​ 这个也可以用安培环路计算

​

​ 如果在螺线管一端

$$B=\frac{1}{2}\mu_0ni$$

6. 多层螺线管

• 各层加起来的总匝数：N
• $ni =\frac{Ni}{L}\Rightarrow jdr = \frac{Ni}{2l(R_2-R_1)}dr$

$$B=\mu_0jl\ln{\frac{R_2+\sqrt{R_2^2+l^2}}{R_2+\sqrt{R_2^2+l^2}}}$$

7. 无限大电流板

$$ \oint \vec{V}\cdot\vec{dl} = 2Bw = \mu_0nwi\\ B=\frac{1}{2}\mu_0ni $$

7. 螺绕环(Toroid)

   

$$\oint \vec{B}\cdot\vec{dl} = \mu_0Ni\\ B = \mu_0ni$$

8. 质谱仪

9. 瓷瓶

10. 动量仪

11. 回旋加速器

    加速到一定程度后相对论效应明显，需要特别设置磁场

12. 霍尔效应

    

$$V_{AA'} = \frac{1}{nq}\frac{iB}{d} = \kappa\frac{iB}{d}$$

• Hall Resistance $R_H=\frac{V_{AA'}}{i} = \frac{B}{nqd}$
• 载流子密度 $n =\frac{iB}{qd}\frac{1}{V_{AA'}}$

Chapter 34&35(36) 法拉第电磁感应定律 & 电感(Inductance) 和材料磁性性质#

定义#

1. 磁通量 $\Phi_B = \iint \vec{B}\cdot\vec{dA}$

2. 磁通匝链数 $\Psi = N\Phi_B$

3. 动生电动势 $\epsilon =\int_-^+(\vec{v}\times\vec{B})\cdot\vec{dl}$

   • 绕一端旋转的棒 $\epsilon = -\frac{1}{2}B\omega R^2$

4. 互感系数 $M = \frac{\Psi}{i}$

   • 单位 : 1H=1Wb/1A
   • 互感系数和两线圈自感系数的关系：
   $$No\ flux\ leakage : M=\sqrt{L_1L_2}\\ Direct\ in\ series : L = L_1+L_2+2M\\ Opposite\ in\ series : L = L_1+L_2-2M$$

5. 自感系数：线圈自己由于电流变化产生感应电动势对自己的影响的衡量 $L = \frac{\Psi}{i}$

   • $\epsilon_L =-\frac{d\Psi}{dt} = -L\frac{di}{dt}$
     • 即使在电阻为0的回路中自感也会限制电流最大值

6. 磁导率permeability constant $\kappa_m$

   • 线圈插入磁性材料，$L=\kappa_m L_0$
   • 顺磁逆磁 $\kappa_m \approx 1$ ，铁磁材料 $\kappa_m \approx 10^3 -10^4$

7. 磁化强度矢量 $\vec{M} =\frac{\sum\vec{\mu_m}}{\Delta V}$

   • $\mu_m$ 磁偶极矩

   • 则有 $\oint_l \vec{M}\cdot\vec{dl} = \sum_{inl}i'$

     • $i'$ : induced current 束缚电流

8. 磁场强度 $\vec{H} = \frac{\vec{B}}{\mu_0}-\vec{M}$

   • 单位：奥斯特 1Os = 1A/m

9. 磁化率susceptibility magnetization coefficient $\chi_m$

   • $\kappa_m = 1+\chi_m$

定理#

1. 法拉第电磁感应定律

$$\epsilon = -\frac{d\Phi_B}{dt}$$ $$\Rightarrow\begin{cases}\oint \vec{E}\cdot\vec{dl} = -\frac{d\Phi_B}{dt}\\ \nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\end{cases}$$

2. 楞次定律

The induced current will appear in such a direction that it opposes the change in flux that produced it.

3. 磁性材料加入后的安培环路定律和高斯定律

$$\oint_l \vec{H}\cdot\vec{dl} = \sum_{inl} i_0\\ \oiint \vec{B}\cdot\vec{dA} = 0$$

模型#

1. 螺线圈的自感系数

$$L=\frac{\Psi}{i} = \frac{nl \mu_0ni A}{i} = \mu_0n^2lA\\ L_v = \frac{L}{lA} = \mu_0n^2\\$$

2. 长方形螺绕环的自感系数

$$\oint B\cdot dl =\mu_0Ni\Rightarrow B =\frac{\mu_0iN}{2\pi r}\\ \Phi_B =\iint B\cdot dA = \frac{\mu_0iNh}{2\pi}\ln{\frac{b}{a}}\\ L = \frac{\mu_0iN^2h}{2\pi}\ln{\frac{b}{a}}$$

3. 同轴电缆

$$B=\frac{\mu_0i}{2\pi r}\\ \Phi_B = \int_{R_1}^{R_2} Bldr = \frac{\mu_0il}{2\pi r}\ln{\frac{R_2}{R_1}}$$

4. RC电路与RL电路

5. LC振荡电路

• 可以与弹簧振子做一个类比

简谐运动	电磁震荡
弹簧 $U_s=\frac{1}{2}kx^2$	电容 $U_E = \frac{1}{2}\frac{q^2}{C}$
木块 $K = \frac{1}{2} mv^2$	电感 $U_B = \frac{1}{2}Li^2$
$v=\frac{dx}{dt}$	$i=\frac{dq}{dt}$
$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$	$\omega = \sqrt{\frac{1}{LC}}$

• 也可以直接推导

$$\begin{aligned} \frac{dU}{dt} &= d(\frac{1}{2}Li^2+\frac{1}{2}\frac{q^2}{C}) = Li\frac{di}{dt} +\frac{q}{C}\frac{dq}{dt} = Li\frac{d^2q}{dt^2} +\frac{q}{C}i = 0\\ &\Rightarrow \frac{d^2q}{dt^2}+\frac{1}{LC}q = 0\\ &\Rightarrow q=q_m\cos{(\omega t+\varphi)},\omega = \sqrt{\frac{1}{LC}}\\ &t = 0,q=q_m,\varphi = 0 \end{aligned}$$

6. RLC电路

$$L\frac{di}{dt}+iR+\frac{q}{C} = \begin{cases} \epsilon, K\rightarrow a\\ 0, K\rightarrow b \end{cases}$$

• 当$\lambda^2=\frac{b^2}{4ac} = \frac{R^2}{4L\frac{1}{C}}>1$ 时

  • $q= e^{-\frac{R}{2L}t}(Ae^{\sqrt{\frac{R^2}{4L^2}-\frac{1}{LC}t}}+Be^{-\sqrt{\frac{R^2}{4L^2}-\frac{1}{LC}t}})+C\epsilon$

  • 称为过阻尼，图像如下

  

• 当 $\lambda = \frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}} = 1$ 时

  • $q= e^{-\frac{R}{2L}t}(A+Bt)+C\epsilon$
  • 称为临界阻尼，图像如下

  

• 当 $\lambda = \frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}$

  • $q=q_me^{-\frac{R}{2L}t}\cos{(\omega t + \varphi)}+C\epsilon$
    • $\omega=\sqrt{\omega_0^2-(\frac{R}{2L})^2}$
  • 称为阻尼振荡，图像如下
  
  • 若 $\epsilon =\epsilon_m\cos{\omega''t}$，则随着 $\omega''$ 变化振幅变化如下
  

1. 涡流

2. 电磁炮

​ 弹丸中感生电动势导致涡流，与线圈的磁场相互作用导致发射

3. 磁悬浮

4. 发电机

$$\Phi_B = BA\cos{\omega t}\\ \epsilon = BA\omega \sin{\omega t}$$

5. 电子加速器

• B 和 v都在变化，最终呈现效果是 R 没变
• 因为会反向增加所以产出不持续

6. 变压器

​ 利用 $M_{12} = M_{21}$ 得到 $V_2=\frac{N_2}{N_1}V_1$

一些杂七杂八我并看不懂的东西#

• 轨道磁矩 $\vec{\mu_l} = -\frac{e}{2m}\vec{L}$
  • 其中 $\vec{L}=\sqrt{L(L+1)}\frac{h}{2\pi}$
  • $\hbar = \frac{h}{2\pi}$
• 自旋磁矩
  • 费米子 $s=\frac{2k+1}{2} \hbar$
  • 玻色子 $s=k\hbar$
• 铁磁材料的磁滞回线
  • 铁磁材料内存在若干分块（磁畴），分块内部磁偶极矩方向相同
  • 施加磁场能让磁偶极矩方向相同，即使退磁后也不能完全恢复到随机化，因而 $B\neq 0$ （称为剩磁）
    • 剩磁小则为软铁磁体，反之为硬铁磁体

总结对比：电与磁#

	电	磁
非常重要的常数	$\epsilon_0\approx 8.86\times 10^{-12}F/m$	$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} H/m$
初始安培环路定理	$\oiint \vec{E}\cdot \vec{dA} = \sum q_{in}$	$\oint_l \vec{B}\cdot\vec{dl} = \sum_{inl} i_0$
初始高斯定律	$\oint_l \vec{E}\cdot\vec{dl} = 0$	$\oiint \vec{B}\cdot\vec{dA} = 0$
由于介质引入的新物理量	电感应强度 $\vec{D} = \epsilon_0 \vec{E}+\vec{P}$	磁场强度 $\vec{H} = \frac{\vec{B}}{\mu_0}-\vec{M}$
	电容 $C=\frac{Q}{V}$	电感 $L =\frac{\Psi}{i}$
引入介质的安培环路定律	\	$\oint_l \vec{H}\cdot\vec{dl} = \sum_{inl} i_0$
引入介质的高斯定律	$\oiint \vec{D}\cdot \vec{dA} = \sum q_{in}$	\
$\chi$	极化率 $\chi_e$	磁化率 $\chi_m$
$\chi$ 的引入	对于一般的具有各向同性的材料，有 $P=\chi_e\epsilon_0E$	对于磁性材料 $\vec{M} = \chi_m \vec{H}$
$\kappa$ 的引入	插入介质后 $C=\kappa_e C_0$	插入磁性材料后 $L=\kappa_mL_0$ $\vec{B} = \chi_m\mu_0 \vec{H}$
$\kappa$	节点常数 $\kappa_e=1+\chi_e$	磁导率 $\kappa_m = 1+\chi_m$
X化强度矢量	极化强度矢量 $\vec{P}=\frac{\sum \vec{p_i}}{\Delta V}$	磁化强度矢量$\vec{M} =\frac{\sum\vec{\mu_m}}{\Delta V}$
X场能量密度	电场能量密度$u_E=\frac{1}{2}\epsilon_0E^2=\frac{1}{2}\vec{D}\cdot\vec{E}$	磁场能量密度 $u_B=\frac{1}{2}\frac{B^2}{\mu_0} = \frac{1}{2}\vec{B}\cdot\vec{H}$

Chapter 38 麦克斯韦方程组#

公式推导#

新的安培环路定律

$$\oint\vec{H}\cdot\vec{dl} = \iint_{S_2} \vec{j_0}\cdot\vec{dA}=-\iint_{S_1} \vec{j_0}\cdot\vec{dA} = i_0\\ \Rightarrow\oiint_{S}\vec{j_0}\cdot\vec{dA}=\iint_{S_2} \vec{j_0}\cdot\vec{dA}+\iint_{S_1} \vec{j_0}\cdot\vec{dA} = 0$$

同时根据stolz公式我们又有

$$\oint\vec{H}\cdot\vec{dl} = \iint_{S_2} (\nabla\times\vec{H})\cdot\vec{dA}$$

但是存在问题：在电容的情况下不成立（如图中闭合曲面3）

$\Rightarrow$ 变化的电场应当算入其中！

引入变量：

• 电位移通量 $\Phi_D=\iint \vec{D}\cdot\vec{dA}$, 位移电流 $i_D=\frac{d\Phi_D}{dt} =\iint$

• $\oint\vec{H}\cdot\vec{dl} = i_0+i_D = \iint (\vec{j_0}+\frac{\partial\vec{D}}{\partial t})\cdot \vec{dA}$

Chapter39#

中间漏了好多，有空补上

• 横波：传播方向 E & H 为常数0

• 纵波：$\vec{E} \perp \vec{H}$

电磁波的能流密度(Energy Flux Density)与动量#

$$\begin{aligned} \frac{dU}{dt} &= \frac{d}{dt}\iiint (\frac{1}{2}\vec{D}\cdot\vec{E}+\frac{1}{2}\vec{B}\cdot\vec{H})\\ &=\frac{1}{2}\iiint\frac{\partial }{\partial t}(\vec{D}\cdot\vec{E}+\vec{B}\cdot\vec{H})dv \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \frac{\partial }{\partial t}(\vec{D}\cdot\vec{E}+\vec{B}\cdot\vec{H}) &= \kappa_e\epsilon_0\frac{\partial }{\partial t}(\vec{E}\cdot\vec{E})+\kappa_m\mu_0\frac{\partial }{\partial t}(\vec{H}\cdot\vec{H})\\ &=2\kappa_e\epsilon_0\vec{E}\cdot\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}+2\kappa_m\mu_0\vec{H}\cdot\frac{\partial \vec{H}}{\partial t}\\ &=2\vec{E}\cdot\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}+2\vec{H}\cdot\frac{\partial\vec{B}}{\partial t} \end{aligned}$$

由麦克斯韦方程组

$$\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}=\\ \frac{\partial\vec{B}}{\partial t}=$$